Question

13．已知F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₂作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF₁|=3|MF₂|，则此双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|MF₂|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
F₂（c，0）到渐近线的距离为d=|MF₂|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
cos∠MOF₂=$\frac{|MO|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}}{c}$=$\frac{a}{c}$，
在△MOF₁中，|MF₁|²=|MO|²+|OF₁|²-2|MO|•|OF₁|•cos∠MOF₂
=a²+c²-2ac•（-$\frac{a}{c}$）=3a²+c²，
由|MF₁|=3|MF₂|，可得3a²+c²=9b²=9（c²-a²），
即有c²=$\frac{3}{2}$a²，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，同时考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．