Question

6．若奇函数y=g（x）与f（x）=2sin（2x+φ）图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，要得到y=g（x），则可用y=f（x）的图象变换得到（|φ|＜$\frac{π}{2}$），需经过的变换是（　　）

• A． 向左平移$\frac{π}{6}$个单位
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$个单位
• C． 向左平移$\frac{π}{3}$个单位
• D． 向右平移$\frac{π}{3}$个单位

Answer 1

分析 根据函数的对称性先求出函数g（x）的表达式，利用函数g（x）是奇函数，求出φ的值，结合三角函数的图象变换关系进行求解即可．

解答 解：设（x，y）是g（x）上的任意一点，则关于直线x=$\frac{π}{6}$对称的坐标为（$\frac{π}{3}$-x，y）
则（$\frac{π}{3}$-x，y）在与f（x）=2sin（2x+φ）上，
即y=2sin[2（$\frac{π}{3}$-x）+φ]=2sin（$\frac{2π}{3}$-2x+φ），
即g（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$-2x+φ）=-2sin（2x-$\frac{2π}{3}$-φ）
∵g（x）是奇函数，
∴-$\frac{2π}{3}$-φ=kπ，即φ=-$\frac{2π}{3}$-kπ，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴当k=-1时，φ=-$\frac{2π}{3}$+π=$\frac{π}{3}$，
则g（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$-2x+$\frac{π}{3}$）=2sin（π-2x）=2sin2x，
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$），
∴y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后得到y=2sin2（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2sin2x，
故选：B

点评 本题主要考查函数的图象和性质，根据函数对称性以及函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．