Question

14．设F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF₁F₂=30°，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 求得直线MF₁的斜率为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即有$\frac{b}{a+c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，运用a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得F₁（-c，0），M（a，b），
直线MF₁的斜率为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有$\frac{b}{a+c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即a+c=$\sqrt{3}$b，
平方可得（a+c）²=3b²=3（c²-a²）=3（c+a）（c-a），
化简可得a+c=3（c-a），
即为c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a，b，c的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．