Question

2．已知α，β为锐角，且cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$，求α，β

Answer 1

分析 先根据两角和的余弦公式和二倍角公式，得到cosα+cosβ-cos（α+β）=2cos（$\frac{α+β}{2}$）cos（$\frac{α-β}{2}$）-2cos²（$\frac{α+β}{2}$）+1，再利用放缩法，和三角函数的性质即可求出答案．

解答 解：cosα+cosβ-cos（α+β）=cos（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{α-β}{2}$）+cos（$\frac{α+β}{2}$-$\frac{α-β}{2}$）-cos（2×$\frac{α+β}{2}$），
=2cos（$\frac{α+β}{2}$）cos（$\frac{α-β}{2}$）-2cos²（$\frac{α+β}{2}$）+1≤2cos（$\frac{α+β}{2}$）-2cos²（$\frac{α+β}{2}$）+1，（当且仅当cos（$\frac{α-β}{2}$）=1时等式成立）
=-2[cos（$\frac{α+β}{2}$）-$\frac{1}{2}$]²+$\frac{3}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
由题目知，cos（$\frac{α-β}{2}$）=1，cos（$\frac{α+β}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
α，β是锐角，
所以α=β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了两角和差的余弦公式倍角公式，放缩法，属于中档题．