Question

4．若函数y=a^x（a＞0，且a≠1）与函数y=x²的图象在某一交点处的切线重合，则a=${e}^{\frac{2}{e}}$．

Answer 1

分析 设f（x）=x²、g（x）=a^x，公共点（x₀，y₀），根据题意得：f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），列出方程组求出a的值．

解答 解：设f（x）=x²与g（x）=a^x在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
f′（x）=2x，g′（x）=lna•a^x，
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{2}}\\{2{x}_{0}=lna{•a}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得a=${e}^{\frac{2}{e}}$，
故答案为：${e}^{\frac{2}{e}}$．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程思想，考查化简求解能力，熟练掌握其求解的方法步骤是解题的关键．