Question

19．如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC交BD于点O．
（1）证明：A₁C⊥BC₁；
（2）棱CC₁上是否存在一点M，使得A₁O⊥平面MBD．

Answer 1

分析 （1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁，又A₁B₁∩CB₁=B₁，即可证明BC₁⊥平面A₁B₁C，结合A₁C?平面A₁B₁C，即可证明A₁C⊥BC₁．
（2）利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A₁ACC₁ ，证得A₁O⊥DB．再用勾股定理证明A₁O⊥OM，这样，A₁O就垂直于平面MBD内的两条相交直线，从而可证A₁O⊥平面MBD．

解答 证明：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁，
又∵A₁B₁∩CB₁=B₁，

∴BC₁⊥平面A₁B₁C，
∵A₁C?平面A₁B₁C，
∴A₁C⊥BC₁．
（2）存在M为CC₁的中点时，可得：A₁O⊥平面MBD．
证明如下：连接MO，∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁

又∵A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
∵在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan∠MOC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AA₁O=∠MOC，
则∠A₁OA+∠MOC=90°．
∴A₁O⊥OM．
∵OM∩DB=O，
∴A₁O⊥平面MBD．

点评 本题主要考查了证明直线和平面垂直判定，一般方法为在其中一个平面内找出2条相交直线和另一个直线垂直，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．