Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好过椭圆C的右顶点A，O为坐标原点，若点P满足2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，求直线AP的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$相切，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式韦达定理、向量的数量积、直线的斜率，结合已知条件能求出直线AP的斜率的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
过椭圆C的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|\sqrt{3}c|}{\sqrt{3+1}}=\frac{b}{a}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，得4k²-m²+3＞0，（*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵以MN为直径的圆恰好过椭圆C的右顶点A（2，0），
∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{AN}$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（k²+1）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4
=$\frac{7{m}^{2}+4{k}^{2}+16km}{3+4{k}^{2}}$=0，
∴7m²+4k²+16km=（7m+2k）（m+2k）=0，
解得m=-$\frac{2k}{7}$满足（*）式，
∴2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=x₁+x₂，y₁+y₂）=（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，$-\frac{8{k}^{2}m}{3+4{k}^{2}}+2m$），∴P（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
∴直线AP的斜率k_AP=-$\frac{\frac{3m}{3+4{k}^{2}}}{\frac{4km}{3+4{k}^{2}}+2}$=$\frac{3m}{8{k}^{2}+6+4km}$=$\frac{k}{8{k}^{2}+7}$=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$，
当k＜0时，k_AP=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$≥-$\frac{1}{4\sqrt{14}}$=-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，此时-$\frac{\sqrt{14}}{56}$≤k_AP＜0．
当k＞0时，k_AP=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$≤$\frac{1}{4\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{56}$，此时$0＜{k}_{AP}≤\frac{\sqrt{14}}{56}$．
综上，直线AP的斜率的取值范围是[-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{14}}{56}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式韦达定理、向量的数量积、直线的斜率、椭圆性质的合理运用．