Question

2．设$\overrightarrow{a}$=（-1，3，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-3，-4），$\overrightarrow{c}$=（-3，12，6），证明三向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$共面，并用$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{e}$．

Answer 1

分析 根据空间三向量的共面定理：存在实数x，y，使$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$成立，列出方程组求出x、y的值即可．

解答 证明：设$\overrightarrow{a}$=（-1，3，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-3，-4），$\overrightarrow{c}$=（-3，12，6）三向量共面，
则存在实数x，y，
使$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，
∴（-3，12，6）=（-x+2y，3x-3y，2x-4y），
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=-3}\\{3x-3y=12}\\{2x-4y=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即x=5，y=1时，$\overrightarrow{c}$=5$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$成立，
∴向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$共面，
且$\overrightarrow{c}$=5$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了空间三向量共面定理的坐标表示与应用问题，是基础题目．