Question

14．已知双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y=x，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 由已知得双曲线的焦点坐标为F（$±\sqrt{5}$，0），设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由双曲线的一条渐近线方程为y=x，能求出双曲线方程．

解答 解：∵双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，
∴双曲线的焦点坐标为F（$±\sqrt{5}$，0），
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{c=\sqrt{5}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=b=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{2}}$=1．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和双曲线性质的合理运用．