Question

1．在△ABC中．A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=-$\frac{1}{4}$．
（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；
（2）若a=2，2sin²A+sinAsinC=sin²C，求b及c的长．

Answer 1

分析 （1）由题意和二倍角公式可得sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，再由a+b=5和基本不等式可得ab≤$\frac{25}{4}$，代入面积公式由不等式的性质可得；
（2）由题意和正弦定理可得c=2a=4，由同角三角函数基本关系可得cosC，代入余弦定理可得b值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cos2C=-$\frac{1}{4}$，∴1-2sin²C=-$\frac{1}{4}$，
解得sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，或sinC=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（舍去负值），
又a+b=5，∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，
当且仅当a=b=$\frac{5}{2}$时ab取到最大值$\frac{25}{4}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{10}}{8}$ab≤$\frac{\sqrt{10}}{8}$•$\frac{25}{4}$=$\frac{25\sqrt{10}}{32}$
∴面积的最大值为$\frac{25\sqrt{10}}{32}$；
（2）∵a=2，2sin²A+sinAsinC=sin²C，
∴由正弦定理可得2a²+ac=c²，
移项并分解因式可得（a+c）（2a-c）=0，
由a，c为正数可得2a-c=0，即c=2a=4，
由余弦定理可得4²=2²+b²-2•2•b•cosC，
当cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$时，代入上式可解得b=2$\sqrt{6}$；
当cosC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$时，代入上式可解得b=$\sqrt{6}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及分类讨论思想和三角形的面积公式以及基本不等式求最值，属中档题．