Question

17．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值M，若M的取值范围是[1，2]，则点M（a，b）所经过的区域面积=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作出可行域，变形目标函数，分类讨论不同情况下，M点对应的平面区域，相加可得答案．

解答 解：作出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图△OAB及内部），

变形目标函数z=ax+by可得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{1}{b}$z，
当-$\frac{a}{b}$≤-2时，直线经过点A（1，0）时，z取最大值a∈[1，2]，
由$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ b＞0\\-\frac{a}{b}≤-2\\ a∈[1，2]\end{array}\right.$得点M（a，b）所经过的区域如下图所示：

故点M（a，b）所经过的区域面积S=$\frac{3}{4}$，
当-$\frac{a}{b}$＞-2时，直线经过点B（0，2）时，z取最大值2b∈[1，2]，
由$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ b＞0\\-\frac{a}{b}≤-2\\ 2b∈[1，2]\end{array}\right.$得点M（a，b）所经过的区域如下图所示：

故点M（a，b）所经过的区域面积S=$\frac{3}{4}$，
综上可得：点M（a，b）所经过的区域面积面积S=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．