Question

20．若数列{a_n}前n项和S_n满足S_n-1+S_n=2n²+1（n≥2，n∈N⁺），且满足a₁=x，{a_n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．

Answer 1

分析 根据条件求出与a_n的有关的关系式，利用条件，{a_n}单调递增，建立条件，即可得到结论．

解答 解：由条件S_n-1+S_n=2n²+1（n≥2）得S_n+S_n+1=2（n+1）²+1，
两式相减得a_n+1+a_n=4n+2，
故a_n+2+a_n+1=4n+6，两式再相减得a_n+2-a_n=4，得{a_n+2}是公差d=4的等差数列，
由n=2得a₁+a₂+a₁=9，a₂=9-2x，
从而a_2n=4n+5-2x；       
n=3得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=19，a₃=1+2x，从而a_2n+1=4n-3+2x，
由条件得$\left\{\begin{array}{l}{x＜9-2x}\\{4n+5-2x＜4n-3+2x}\\{4n-3+2x＜4（n+1）+5-2x}\end{array}\right.$，
解得2＜x＜3，
故x的取值范围为（2，3），
故答案为：（2，3）．

点评 本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a_n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．