Question

1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD且2AB=CD，PD=PA，点H为线段AD的中点，若$PH=1，AD=\sqrt{2}$，PB与平面ABCD所成角的大小为45°．
（1）证明：PH⊥平面ABCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面PAD，可得平面PAD⊥平面ABCD，再由已知求得PH⊥AD，由面面垂直的性质得到PH⊥平面ABCD；
（2）由（1）可得∠PBH为PB与平面ABCD所成角等于45°，求解直角三角形BAH得到AB，进一步得到CD，求得底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，∵AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又PD=PA，点H为线段AD的中点，
∴PH⊥AD，则PH⊥平面ABCD；
（2）解：在△PAD中，∵H为线段AD的中点，AD=$\sqrt{2}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（1）知，PH⊥平面ABCD，
连接BH，则∠PBH为PB与平面ABCD所成角等于45°，
在Rt△PHB中，由∠PBH=45°，得PH=BH=1，
在Rt△BAH中，有AB=$\sqrt{B{H}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则CD=2AB=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}）×\sqrt{2}=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×{S}_{ABCD}×PH=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了面面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．