Question

15．在△ABC中，A=60°，a=$\sqrt{3}$．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 利用正弦定理得出b=2sinB，c=2sinC=2sin（120°-B）=$\sqrt{3}$cosB+sinB，分别代入面积公式和周长公式化简，利用正弦函数的图象与性质和B的范围求出最值即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$sinBsinC=$\sqrt{3}$sinBsin（120°-B）=$\frac{3}{2}$sinBcosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²B
=$\frac{3}{4}sin2B$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2B-60°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵0°＜B＜120°，
∴-60°＜2B-60°＜180°，
∴当2B-60°=90°时，S_△ABC取得最大值$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
（2）a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC=$\sqrt{3}+2$sinB+2sin（120°-B）
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（B+30°）+$\sqrt{3}$
∵0°＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴当B+30°=90°时，a+b+c取得最大值3$\sqrt{3}$．
当B+30°=30°或150°时，a+b+c取得最小值2$\sqrt{3}$．
∴△ABC的周长的取值范围是（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的 图象与性质，属于中档题．