Question

5．∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx+∫${\;}_{-1}^{1}$x³dx，分别由定积分的几何意义和牛顿-莱布尼兹公式可得．

解答 解：∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx+∫${\;}_{-1}^{1}$x³dx，
∵∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx表示单位圆x²+y²=1的上半个圆的面积，
∴∫${\;}_{-1}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，又∫${\;}_{-1}^{1}$x³dx=$\frac{1}{4}$x⁴${|}_{-1}^{1}$=0，
∴∫${\;}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1{-x}^{2}}$+x³）dx=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查定积分的求解，涉及定积分的几何意义和公式求解，属基础题．