Question

已知椭圆

x= 2 cosα y=sinα

．
（1）求方向向量为

a

=（-1，-2）的平行弦的中点轨迹方程．（即斜率为2）
（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（

1

2

，

1

2

）且被P点平分的弦所在直线的方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：（1）首先化参数方程为直角坐标方程建立方程组利用中点求得直线方程．
（2）利用中点弦的公式直接求得结果．
（3）结合（2）的结论建立中点关系，利用点斜式求的直线方程．

解答： 解（1）解（1）设这些平行弦的方程为y=2x+m，弦的中点为M（x，y）．
联立直线方程和椭圆方程：

y=2x+m x2 2 +y2=1

，
消去y得：9x²+8mx+2（m²-1）=0，
x1+x2=-

8

9

m，
由△＞0解得：-3＜m＜3，
由2x=x₁+x₂，x=-

4

9

m，
消去m得：y=-

1

4

x  （-

4

3

＜x＜

4

3

）；
（2）设弦的端点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），其中点是M（x，y）．
则：

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，
KPQ=

y2-y1

x2-x1

=-

x

2y

，

∵K_PQ=K_AM
∴

y-1

x-2

=-

x

2y

，
化简得：x²-2x+2y²-2y=0（夹在椭圆内部的部分）
（3）由（2）得：K=-

x

2y

，且满足过点P（

1

2

，

1

2

），K=-

1

2

，
所求的直线方程为：y+

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

），
即：2x+4y-3=0．
故答案为：（1）y=-

1

4

x  （-

4

3

＜x＜

4

3

）；
（2）x²-2x+2y²-2y=0；
（3）2x+4y-3=0．

点评：本题考查的知识点：参数方程和直角坐标方程的转化，直线和圆锥曲线的关系，中点坐标公式，中点弦公式及相关的运算问题．