Question

已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，

OA

+

OB

与

a

=(3，-1)共线，则该椭圆的长半轴长为

6

．

Answer 1

分析：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，与直线AB的方程消去y得到关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理算出x₁+x₂=

4a2

a2+b2

．由

OA

+

OB

与

a

=(3，-1)共线，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，结合直线AB方程解出x₁+x₂=3，代入前面的式子得到关于a、b的方程组，解之可得a、b之值，即可得到该椭圆的长半轴长．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵直线AB的斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0），
∴直线AB的方程为y=x-2，
代入椭圆方程消去y，化简得（a²+b²）x²-4a²x+4a²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4a2

a2+b2

，x₁•x₂=

4a2-a 2b2

a2+b2

．
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

OA

+

OB

与

a

=(3，-1)共线，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，
结合y₁=x₁-2且y₂=x₂-2，化简得3（x₁+x₂-4）+（x₁+x₂）=0，解之得x₁+x₂=3．
即

4a2

a2+b2

=3，解之得a²=3b²．
又∵a²-b²=c²=4，∴a²-

1

3

a²=4，解之得a=

6

，即该椭圆的长半轴长为

6

．
故答案为：

6

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的长半轴的值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、向量共线的条件和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．