Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

a2

c

（a为长半轴，c为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

a2

c

（a为长半轴，c为半焦距）上，可得

a2

c

=2，利用椭圆短半轴长为1，即可确定椭圆方程；
（2）设出以OM为直径的圆的方程，利用以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，结合圆心到直线3x-4y-5=0的距离，即可求得所求圆的方程．

解答：解：（1）∵动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

a2

c

（a为长半轴，c为半焦距）上
∴

a2

c

=2
∵椭圆短半轴长为1，∴

1+c2

c

=2，∴c=1
∴a=

2

所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）设以OM为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，
其圆心为(1，

t

2

)，半径r=

t2 4 +1

因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5

点评：本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查点到直线距离的运用，解题的关键是利用圆的性质求解圆的弦长问题．