Question

17．若函数f（x）=Acos（$\frac{π}{2}$x+φ）（A＞0），满足f（1）=0，则（　　）

• A． f（x）在[0，1]上单调递增
• B． f（x）在[0，1]上单调递减
• C． f（x+3）一定是偶函数
• D． f（x+3）一定是奇函数

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的奇偶性，得出结论．

解答 解：由于f（1）=Acos（$\frac{π}{2}$+φ）=-Asinφ=0，故可取φ=kπ，k∈Z，∴函数f（x）=Acos（$\frac{π}{2}$x+kπ）=±Acos$\frac{π}{2}$x（A＞0），
故函数f（x）在[0，1]上的单调性不确定，故排除A、B．
再根据f（x+3）=±Acos$\frac{π}{2}$（x+3）=±Asin$\frac{π}{2}$x，可得f（x+3）一定是奇函数，
故选：D．

点评 本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性，属于基础题．