Question

7．已知sinα=$\frac{5}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），cosβ=-$\frac{1}{3}$，β∈（π，$\frac{3π}{2}$），求sin（α+β）和cos（α+β）

Answer 1

分析 由已知利用平方关系求出cosα，sinβ，然后利用两角和与差的正弦和余弦求得sin（α+β）和cos（α+β）．

解答 解：∵sinα=$\frac{3}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴$cosα=-\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}=-\frac{4}{5}$，
∵cosβ=-$\frac{1}{3}$，β∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴sinβ=$-\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$-\sqrt{1-（-\frac{1}{3}）^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{3}{5}×（-\frac{1}{3}）+（-\frac{4}{5}）×（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=$\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$；
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$（-\frac{4}{5}）×（-\frac{1}{3}）-\frac{3}{5}×（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=$\frac{6\sqrt{2}+4}{15}$．

点评 本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，考查了两角和与差的正弦和余弦，是中档题．