Question

20．已知lnx-$\frac{1}{2}$x²+2c＜0恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 lnx-$\frac{1}{2}$x²+2c＜0恒成立，等价于lnx-$\frac{1}{2}$x²＜-2c恒成立，求出y=lnx-$\frac{1}{2}$x²的最大值，即可求c的取值范围．

解答 解：lnx-$\frac{1}{2}$x²+2c＜0恒成立，等价于lnx-$\frac{1}{2}$x²＜-2c恒成立，
设y=lnx-$\frac{1}{2}$x²，则y′=$\frac{1}{x}$-x，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，函数取得最大值-$\frac{1}{2}$，
∴-2c＞-$\frac{1}{2}$，
∴c＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，正确分离参数求最大值是关键．