Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=

7

9

，
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A+B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把b，a+c的值代入求出ac的值，联立即可求出a与c的值；
（2）由cosB的值求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出sin（A+B）的值．

解答： 解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=

7

9

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-

14

9

ac=（a+c）²-

32

9

ac=36-

32

9

ac，
整理得：ac=9②，
联立①②，解得：a=c=3；
（2）∵cosB=

7

9

，∴sinB=

1-cos2B

=

4 2

9

，
∵b=2，sinB=

4 2

9

，c=3，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

3× 4 2 9

2

=

2 2

3

，
则sin（A+B）=sinC=

2 2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．