Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若，求实数取值的集合；

（Ⅱ）当时，对任意，，令，证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（I）f′（x）．（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性极值与最值．进而得出a的取值集合;（II）当a＝0时，f（x）＝lnx，则，由（I）可知：lnx1≥0，（x＞0）．根据0＜x1＜x2，可得1，ln1，即可证明．由（I）可知：lnx＜x﹣1，（x＞1）．同理可证明：．

（Ⅰ）由已知，有.

当时，，与条件矛盾；

当时，若，则，单调递减；

若，则，单调递增.

∴在上有最小值.

由题意，∴.

令.∴.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

∴在上有最大值.∴.

∴.

∴，∴，

综上，当时，实数取值的集合为.

（Ⅱ）当时，，则.

由（Ⅰ），可知.

∴（当且仅当时取等号）. ①

∵，∴.∴，∴

由①式可得当时，有.

∵，∴.

∴.

综上所述，有，∴.