【题目】给出下列四个命题
①已知为椭圆上任意一点,,是椭圆的两个焦点,则的周长是8;
②已知是双曲线上任意一点,是双曲线的右焦点,则;
③已知直线过抛物线的焦点,且与交于,,,两点,则;
④椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点,是它的焦点,长轴长为,焦距为,若静放在点的小球(小球的半径忽略不计)从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时,小球经过的路程恰好是.
其中正确命题的序号为__(请将所有正确命题的序号都填上)
【答案】②③
【解析】
①求得椭圆中的, ,的周长为:,即可判断;
②求得双曲线中的,,,讨论在双曲线的左支或右支上,求得最小值,即可判断;
③设出直线的方程,代入抛物线方程,运用韦达定理,即可判断;
④可假设长轴在,短轴在轴,对球的运动方向沿轴向左直线运动,沿轴向右直线运动,以及球不沿轴运动,讨论即可.
①由椭圆方程,得,,因为椭圆上任意一点,由椭圆定义知,的周长为,故①错误;
②已知是双曲线上任意一点,且,,是双曲线的右焦点,若在双曲线左支上,则,若在双曲线右支上,则,故②正确;
③直线过抛物线的焦点,设其方程为,,,将直线代入抛物线的方程可得,由韦达定理可得,又,则,故③正确;
④假设长轴在,短轴在轴,设为左焦点,为左焦点,以下分为三种情况:
i.球从 沿轴向左直线运动,碰到左顶点必然原路反弹,这时第一次回到路程
是;
ii.球从沿轴向右直线运动,碰到右顶点必然原路反弹,这时第一次回到路程
是;
iii.球从不沿轴斜向上(或向下)运动,碰到椭圆上的点,反弹后经过椭圆的另一个焦点,再弹到椭圆上一点,经反弹后经过点,此时小球经过的路程是;
综上所述:从点沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到时,小球经过的路程是或或.故④错误.
故答案为:②③.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为,其上一点在准线上的射影为,△恰为一个边长为4的等边三角形.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过定点的直线交抛物线于,两点,为坐标原点)的面积为,求直线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于、两点.
(1)若,求此时直线的方程;
(2)若与直线垂直的直线过点,且与抛物线相交于点、,设线段、的中点分别为、,如图,求证:直线过定点;
(3)设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、,若△的面积是△的面积的两倍,如图,求线段中点的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱中,侧面底面,四边形是边长为2的菱形,,,,E,F分别为AC,的中点.
(1)求证:直线EF∥平面;
(2)设分别在侧棱,上,且,求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比.
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