【题目】如图,在三棱柱中,侧面
底面
,四边形
是边长为2的菱形,
,
,
,E,F分别为AC,
的中点.
(1)求证:直线EF∥平面;
(2)设分别在侧棱
,
上,且
,求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比.
【答案】(1)见解析(2)(或者
)
【解析】
(1)取A1C1的中点G,连接EG,FG,证明FG∥A1B1.推出FG∥平面ABB1A1.同理证明EG∥平面ABB1A1,从而平面EFG∥平面然后证明直线EF∥平面ABB1A1;
(2)证明BE⊥AC.推出BE⊥平面ACC1A1.求出四棱锥B﹣APQC的体积,棱柱ABC﹣A1B1C1的体积,即可得到面BPQ分棱柱所成两部分的体积比.
(1)取的中点G,连接EG,FG,
由于E,F分别为AC,的中点,
所以FG∥.又
平面
,
平面
,
所以FG∥平面.
又AE∥且AE=
,
所以四边形是平行四边形.
则∥
.又
平面
,
平面
,
所以EG∥平面.
所以平面EFG∥平面.又
平面
,
所以直线EF∥平面.
(2)四边形APQC是梯形,
其面积
.
由于,E分别为AC的中点.
所以.
因为侧面底面
,
所以平面
.
即BE是四棱锥的高,可得
.
所以四棱锥的体积为
.
棱柱的体积
.
所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为(或者
).
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【题目】给出下列四个命题
①已知为椭圆
上任意一点,
,
是椭圆的两个焦点,则
的周长是8;
②已知是双曲线
上任意一点,
是双曲线的右焦点,则
;
③已知直线过抛物线
的焦点
,且
与
交于
,
,
,
两点,则
;
④椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点,
是它的焦点,长轴长为
,焦距为
,若静放在点
的小球(小球的半径忽略不计)从点
沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点
时,小球经过的路程恰好是
.
其中正确命题的序号为__(请将所有正确命题的序号都填上)
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【题目】已知平面上的线段及点
,任取
上一点
,线段
长度的最小值称为点
到线段
的距离,记作
.请你写出到两条线段
,
距离相等的点的集合
,
,
,其中
,
,
,
,
,
是下列两组点中的一组.对于下列两种情形,只需选做一种,满分分别是① 3分;② 5分.①
,
,
,
;②
,
,
,
.你选择第_____种情形,到两条线段
,
距离相等的点的集合
_____________.
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【题目】对于函数,若存在区间
,使得
,则称函数
为“可等域函数”,区间
为函数
的一个“可等域区间”.给出下列4个函数:
①;②
; ③
; ④
.
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )
(A)①②③ (B)②③ (C)①③ (D)②③④
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,过
且垂直于
轴的焦点弦的弦长为
,过
的直线
交椭圆
于
,
两点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,
互相垂直,直线
过
且与椭圆
交于点
,
两点,直线
过
且与椭圆
交于
,
两点.求
的值.
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【题目】如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少?
(2)现需要倒出不少于的溶液,当
时,能实现要求吗?请说明理由.
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【题目】已知椭圆:
的离心率
,左、右焦点分别为
,
,点
满足:
在线段
的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若斜率为(
)的直线
与
轴、椭圆
顺次相交于点
、
、
,且
,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,且设定点
,求
的值.
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