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如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)与过A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(1)求椭圆方程;
(2)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,求tan∠ATM.
(1)过点A、B的直线方程为:
x
2
+y=1

∵直线AB与椭圆有唯一公共点,
∴将y=1-
1
2
x
代入椭圆方程,化简得
方程(b2+
1
4
a2
)x2-a2x+a2-a2b2=0有惟一解,
∴△=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0),
故a2+4b2-4=0.
又∵椭圆的离心率e=
3
2

∴a=2b,代入上式可得a2=2,b2=
1
2

因此,所求的椭圆方程为
x2
2
+
y2
1
2
=1

(2)由(1)得c=
a2-b2
=
6
2
,得F1(-
6
2
,0),F2(-
6
2
,0)
从而算出M(1+
6
4
,0)
将直线AB方程与椭圆方程联解,可得T(1,
1
2
).
∴tan∠AF1T=
1
2
-0
1+
6
2
=
6
2
-1,
又∵tan∠TAM=-
1
2
-0
1-2
=
1
2
,tan∠TMF2=-
1
2
-0
1-(1+
6
4
)
=
2
6

∴tan∠ATM=tan(∠TMF2-∠TAM)=
2
6
-
1
2
1+
2
6
1
2
=
6
2
-1.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆
x2
4
+
y2
5
=1
的一个焦点坐标是(  )
A.(3,0)B.(0,3)C.(1,0)D.(0,1)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长为12,离心率为
1
3
,求椭圆的标准方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图:从椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1(-c,0),且
.
AB
.
OM
,则a,b,c必满足______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知M是椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,I是△MF1F2的内心,延长MI交F1F2于N,则
|MI|
|NI|
等于______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设F1,F2分别为椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆C上的点A(1,
3
2
)
到两点的距离之和等于4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(Ⅱ)设点P是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点Q(0.
1
2
)
求|PQ|的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
,左焦点为F,右顶点为C,过F作直线l与椭圆交于A,B两点,求△ABC面积最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆C的短轴长为6,离心率为
4
5
,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若AB是过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与坐标轴不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM•kBM=(  )
A.-
c2
a2
B.-
b2
a2
C.-
c2
b2
D.-
a2
b2

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