Question

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁与面ABCD的交线l，判断l与线A₁C₁位置关系，并给出证明；
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求线AC到面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，由AC∥A₁C₁，AC∥BE，知BE∥A₁C₁，故直线BE就是所求的直线l．且l∥A₁C₁．
（2）由A₁C₁⊥面DBB₁D₁，知A₁C₁⊥B₁D．由A₁B⊥面ADC₁B₁，知A₁B⊥B₁D，所以B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，所以AC∥面A₁BC₁，直线AC到面A₁BC₁的距离即为点A到面A₁BC₁的距离，记为h，由等积法能求出线AC到面A₁BC₁的距离．

解答：（1）解：在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，
∵AC∥A₁C₁，AC∥BE，
∴BE∥A₁C₁，
∴面A₁BC₁与面ABCD的交线l与BE重合，
即直线BE就是所求的直线l．
∵BE∥A₁C₁，
l与BE重合，
∴l∥A₁C₁．
（2）证明：连接B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁⊥DD₁，
∴A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
∴A₁C₁⊥B₁D．
同理A₁B⊥面ADC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁D，
∵A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）解：∵AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，
∴AC∥面A₁BC₁，
∴直线AC到面A₁BC₁的距离即为点A到面A₁BC₁的距离，记为h，
在三棱锥中A-A₁BC₁中，
 VA_A1BC1=VC1-ABA1，
∵正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD棱长为a，
∴VA-A1BC1=

1

3

•S△A1B C1•h=

1

3

×

1

2

×(

2

a)2×h×sin60°=

3 a2

6

h，
VC1-ABA1=

1

3

•S△ABA1•A₁C₁=

1

3

×

1

2

×a×a×

2

a=

2 a3

6

，
∵VA-A1BC1=VC1-ABA1，
∴h=

6

3

a．

点评：本题考查空间中点、线、面间的距离，证明直线和平面垂直，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．