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如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点

(I)求证:平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(III)求点E到平面ACD的距离。
(I)证明:见解析;(II)(III)点E到平面ACD的距离为

试题分析:(I)欲证AO⊥平面BCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直,而CO⊥BD,AO⊥OC,BD∩OC=O,满足定理;
(II)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,异面直线AB与CD的向量坐标,求出两向量的夹角即可;
(III)求出平面ACD的法向量,点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可.
解:(I)证明:连结OC


中,由已知可得
    
   平面
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
中,

是直角斜边AC上的中线,  
(III)解:设点E到平面ACD的距离为
   在中,
   而
 点E到平面ACD的距离为
点评:解决该试题的关键是能对于空间中点线面的位置关系的研究,既可以运用几何方法来证明,也可以建立直角坐标系,借助于向量来得到。
练习册系列答案
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下列叙述中错误的是(    )
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B.三点确定一个平面;
C.若直线,则直线能够确定一个平面;
D.若,则.

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A.当时,若,则
B.当时,若,则
C.当内的射影时,若,则
D.当时,若,则

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在空间,异面直线所成的角为,且=(   )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在三棱锥中,,则直线所成角的大小是(  )
A.30ºB.45ºC.60ºD.90º

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