Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，点E在棱CD上，且CE=

1

3

CD．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在点P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值为

30

6

，求棱AB的长．

Answer 1

（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
∴A₁B₁⊥AD₁．
在矩形A₁D₁DA中，∵AA₁=AD=2，
∴AD₁⊥A₁D．
又A₁D∩A₁B₁=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D₁为原点建立空间直角坐标系D₁-xyz．
依题意可知，D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），
设AB的长为x，则C₁（0，x，0），B₁（2，x，0），C(0，x，2)，E(0，

2

3

x，2)．
假设在棱AA₁上存在点P，使得DP∥平面B₁AE．
设点P（2，0，y），则

DP

=(2，0，y-2)，

AP

=(0，0，y-2)．
易知

B1E

=(-2，-

1

3

x，2)，

AE

=(-2，

2

3

x，0)．
设平面B₁AE的一个法向量为n=（a，b，c），
则

B1E • n =0 AE • n =0

，即

-2a- 1 3 xb+2c=0 -2a+ 2 3 xb=0

．
令b=3得，a=x，c=

3

2

x，∴

n

=(x，3，

3

2

x)．
∵DP∥平面B₁AE，∴

DP

•

n

=0且DP?平面B₁AE．
得2x+(y-2)•

3

2

x=0，∴y=

2

3

．
∴

AP

=(0，0，-

4

3

)，|

AP

|=

4

3

，
∴AP的长为

4

3

．
（3）∵CD∥A₁B₁，且点E∈CD，
∴平面A₁B₁E、平面A₁B₁D与面A₁B₁CD是同一个平面．
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁D，
∴

D1A

=(2，0，2)是平面A₁B₁E的一个法向量．
由（2）可知，平面B₁AE的一个法向量为n=(x，3，

3

2

x)．
∵二面角A-B₁E-A₁的余弦值为

30

6

，
∴cosθ=

30

6

=

| D1A • n |

| D1A || n |

=

|2x+3x|

2 2 • x2+9+( 3 2 x)2

，解得x=3

2

．
故AB的长为3

2

．