Question

已知向量

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)，设f(x)=(

m

+

n

)•

n

．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=

1

2

，b=1，S△ABC=

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)，利用数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调递减区间，即可得到结论；
（2）由f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)=

1

2

得sin(2A+

π

4

)=

2

2

，从而可求A的值，利用三角形的面积公式，结合余弦定理可求a的值．

解答：解：（1）∵

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)
∴f(x)=(

m

+

n

)•

n

=

m

•

n

+

n

2=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递减区间是[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（2）由f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)=

1

2

得sin(2A+

π

4

)=

2

2

．
又∵A为△ABC的内角，∴2A+

π

4

=

3

4

π，∴A=

π

4

．
∵b=1，S△ABC=

1

2

，∴

1

2

bcsinA=

1

2

． 
∵a²=b²+c²-2bccosA
∴a=1…（12分）

点评：本题考查向量的运算、三角变换、三角函数的单调性、三角形的面积、余弦定理等知识，考查学生运算能力和运用用知识的能力，中等题．