Question

设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…
（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；
（2）如果函数f（x）在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于2e³，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈[e，e²]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据x=e为函数y=f（x）的极大值点，得到方程=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）的根为e，根据根的定义，求出a值，最后根据极值的情况验证结果．
（2）首先对函数求导，代入所给的x=e的条件，得到曲线y=f（x）在x=e处的切线方程，做出切线与x轴、y轴的交点坐标，表示出三角形的面积关于a的等式，即可求得a值．
（3）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[e，2e]上为减函数，[2e，e²]上为增函数．从而求出最小值，最大值即可．

解答：解：（1）求导得f'（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）．
因为x=e是f（x）的极值点，所以f'（e）=(e-a)(3-

a

e

)=0，解得a=e或a=3e，经检验，a=3e，符合题意．（要有检验过程）
（2）f'（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

，
当x=e时，f'（e）=2（e-a）+

(e-a)2

e

，f（e）=（e-a）²lne=（e-a）²，
所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-（e-a）²=[2（e-a）+

(e-a)2

e

]（x-e），
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（

2e2

3e-a

，0），（0，-2e（e-a）），
∴所求面积为

1

2

×|

2e2

3e-a

|×|-2e(e-a)|=2e3．
解之得，a=2e．
（3）在（2）的条件a=2e下，
f（x）=（x-2e）²lnx，f'（x）=2（x-2e）lnx+

(x-2e)2

x

，
对于x∈[e，2e]，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[e，2e]上为减函数．
对于x∈[2e，e²]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[2e，e²]上为增函数．
∴f(x)max=f(e2)=2e2(e-2)2，f(x)min=f(2e)=0．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求极值和极值存在的条件、利用导数求闭区间上函数的最值等，本题解题的关键是利用极值存在的条件展开运算，以及综合运用函数解决数学问题的能力．