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(2012•温州一模)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E,F,G,H分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设
OP
OF
CQ
CF
(λ≠0).
(Ⅰ)求直线EP与GQ的交点M的轨迹Γ的方程;
(Ⅱ)过圆x2+y2=r2(0<r<2)上一点N作圆的切线与轨迹Γ交于S,T两点,若
NS
NT
+r2=0
,试求出r的值.
分析:(Ⅰ)交轨法:设M(x,y),由向量关系可得P、Q点的坐标,用λ表示出直线EP、GQ的方程,消掉参数λ即得点M的轨迹方程;
(Ⅱ)由
NS
NT
+r2=0
,得|NS||NT|=|ON|2,又由ON⊥ST,得OS⊥OT,设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1x2+y1y2=0(*),设直线ST:y=kx+m(m≠±2),与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程,把韦达定理代入(*得)式得关于k,m的方程;再由直线ST与圆相切得r=
|m|
1+k2
,两方程联立即可求得r值;
解答:解:(I)设M(x,y),由已知得P(4λ,0),Q(4,2-2λ),
则直线EP的方程为y=
x
-2,直线GQ的方程为y=-
λx
2
+2,
消去λ即得M的轨迹Γ的方程为
x2
16
+
y2
4
=1(x≠0)

(II)由
NS
NT
+r2=0
,得|NS||NT|=|ON|2,又ON⊥ST,则OS⊥OT,
设直线ST:y=kx+m(m≠±2),代入
x2
16
+
y2
4
=1
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
设S(x1,y1),T(x2,y2),
x1+x2=-
8km
1+4k2
x1x2=
4m2-16
1+4k2

由OS⊥OT得x1x2+y1y2=0,即km(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0,
则5m2=16(1+k2)①,
又O到直线ST的距离为r=
|m|
1+k2
②,
联立①②解得r=
4
5
5
∈(0,2).
经检验当直线ST的斜率不存在时也满足.
故r的值为
4
5
5
点评:本题考查交轨法求轨迹方程、椭圆方程、直线与圆位置关系及直线与椭圆的位置关系等知识,考查方程思想,考查学生解决问题的能力,解决(II)问的关键是根据条件分析出OS⊥OT,从而得到等量关系.
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23
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15
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