Question

设直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．
（Ⅰ）当k=

3

4

时，圆P恰与两直线l₁、l₂相切，试求圆P的方程；
（Ⅱ）设直线l₁与圆P交于A、B，l₂与圆P交于C、D．
（1）当k=

1

2

时，求四边形ABDC的面积；
（2）当k∈（0，

3

4

）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．

Answer 1

分析：直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx 关于x轴对称．
（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求 a．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（1）等腰梯形ABDC的面积=

1

2

（AC+BD）×h，AC，BD，h用x₁，y₁，x₂，y₂，表示．代入求解．
（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．

解答：解：直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx 关于x轴对称
（Ⅰ）设圆的标准方程为（x-a）²+y²=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，
∴

| 3 4 a|

1+( 3 4 )2

=3，解得a=5
∴圆的标准方程为（x-5）²+y²=9
（Ⅱ）（1）设A （x₁，y₁）B（x₂，y₂），则C（x₁，-y₁）D（x₂，-y₂），直线l₁：y=

1

2

x 与圆P方程联立，消去x得5y²-20y+16=0，得A（4-

4 5

5

，2-

2 5

5

），B（4+

4 5

5

，2+

2 5

5

）．
等腰梯形ABDC的面积=

1

2

（AC+BD）×h=

1

2

（2y₁+2y₂）（x₂-x₁）=

1

2

×8×

8 5

5

=

32 5

5

．
（2）当k∈（0，

3

4

）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k²）x²-10x+16=0，△=-64k²+36＞0．x₁=

10- -64k2+36

2(1+k2)

，x₂=

10+ -64k2+36

2(1+k2)

y₁=

10k- -64k4+36k2

2(1+k2)

，y₂=

10k+ -64k4+36k2

2(1+k2)

，AC的斜率为k=

y1-(-y2)

x1-x2

=-

10k

-64k2+36

．
AC的方程为y-y₁=k（x-x₁），将x₁，y₁，k代入并化简整理得：y=

k

-64k2+36

(-10x+32)．与x 轴交与定点（

16

5

，0）与k的值无关．

点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，相交．联立方程组是最基本的解题方法，考查圆心到直线的距离公式，考查题目的理解能力计算能力．