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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
2
2
,左、右焦点分别为
F1,F2,点P(2,
3
),点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l1:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,求证:直线l1经过定点,并求该定点的坐标.
(3)若过点B(2,0)的直线l2(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),△OBE与△OBF的面积之比为
1
2
,求直线l2的方程.
分析:(1)利用中垂线的性质可得:|F1F2|=|PF2|,于是(2c)2=(
3
)2+(2-c)2
,即可得到c.再利用e=
c
a
=
2
2
,即b=
a2-c2
即可得出.
(2)把直线l1:y=kx+m与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用直线F2M与F2N的倾斜角满足α+β=π,可得:kF2M+kF2N=0,即可得到m与k的关系,再代入直线l1的方程即可证明.
(3)设l2方程为x=my+2(m≠0)①,将①代入椭圆的方程可得根与系数的关系.由
S△OBE
S△OBF
=
1
2
,可得
|BE|
|BF|
=
1
2
,即
BF
=2
BE
,可得m的值.
解答:解:(1)设椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
∵点F2在线段PF1的中垂线上,∴|F1F2|=|PF2|,因此(2c)2=(
3
)2+(2-c)2

解得:c=1,又∵e=
c
a
=
2
2
,∴a=
2
b=
a2-c2
=1.
故所求的椭圆C方程为:
x2
2
+y2=1

(2)依题意
x2
2
+y2=1
y=kx+m
,化为:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
-4km
2k2+1
x1x2=
2m2-2
2k2+1

kF2M=
kx1+m
x1-1
kF2N=
kx2+m
x2-1

∵倾斜角满足α+β=π,可得:kF2M+kF2N=0
kx1+m
x1-1
+
kx2+m
x2-1
=0,化简得:2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.
2k(2m2-2)
2k2+1
+
-4km(m-k)
2k2+1
-2m=0
,整理得:m=-2k.
∴直线l1的方程为y=k(x-2),因此直线l1经过定点,该定点坐标为(2,0).
(3)由题意知l2的斜率存在且不为零.
设l2方程为x=my+2(m≠0)①,将①代入
x2
2
+y2=1
,整理得(m2+2)y2+4my+2=0,
由△>0得m2>2.
设E(x3,y3),F(x4,y4),则
y3+y4=
-4m
m2+2
y3y4=
2
m2+2

由已知,
S△OBE
S△OBF
=
1
2
,则
|BE|
|BF|
=
1
2

由此可知,
BF
=2
BE
,即y4=2y3
,代入②得,
3y3=
-4m
m2+2
2y32=
2
m2+2

消去y3
2
9
16m2
(m2+2)2
=
2
m2+2

解得,m2=
18
7
,满足m2>2即m=±
3
14
7

故所求直线l2的方程为7x±3
14
y-14=0
点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系,倾斜角互补的直线斜率之间的关系、向量的运算等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

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