Question

（ 14分 ）已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线,使以被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

x-y-4=0或x-y+1="0. "

假设直线存在，设l的方程为y=x+m，由 --------2分
得2x²+2(m+1)x+m²+4m-4=0.(*)
设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=-(m+1),x₁x₂=.
∵以AB为直径的圆经过原点，则x₁x₂+y₁y₂=0.        ----------------6分
又y₁·y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²,
∴2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=0.
∴m²+3m-4=0,m=-4或m=1.           ---------------12分
∵当m=-4或m=1时，可验证(*)式的Δ＞0，
∴所求直线l的方程是x-y-4=0或x-y+1="0. "  ---------------14分