Question

11．已知函数f（x）=x²-lnx-1，求f（x）的单调区间，且指出函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，解导函数的不等式求出函数的单调区间，得到f（x）的最小值，从而判断出函数的零点．

解答 解：∵函数f（x）=x²-lnx-1，定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）递增；
∴f（x）_min=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（ln2-1）＜0，
∴函数f（x）的零点个数有2个．

点评 本题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，函数的零点问题，是一道中档题．