Question

已知(

x

-

2

x2

)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中含有理项的个数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）所有项的二项式系数之和为1024，即为2ⁿ=1024，解得即可；
（2）求出通项公式，化简整理，再令x的指数为0，即可得到常数项；
（3）考虑通项公式中，x的指数为偶数的情况，即可得到个数．

解答： 解：（1）所有项的二项式系数之和为1024，
即为2ⁿ=1024，解得，n=10；
（2）(

x

-

2

x2

)n的展开式的通项为T_r+1=

C

r 10

(

x

)10-r(

-2

x2

)r
=

C

r 10

(-2)rx

10-5r

2

，
令

10-5r

2

=0，则r=2，
则常数项为：

C

2 10

(-2)2=180；
（3）有理项即为

10-5r

2

为整数，
则r=0，2，4，6，8，10．
故有6个有理项．

点评：本题考查二项式定理及运用，考查二项式系数的性质和二项式展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．