Question

已知三次函数f（x）=x³-3x²-9x+a的图象为曲线C，则下列说法中正确的是

 

．
①f（x）在区间（-1，+∞）上递增；
②若f（x）至少有两个零点，则a的取值范围为[-5，27]；
③对任意x₁，x₂∈[-1，3]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤32；
④曲线C的对称中心为（1，f（1））．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：①，f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），当x≤-1或x≥3时，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上单调递增，可判断①；
②，若f（x）至少有两个零点，则

f(-1)≥0 f(3)≤0

，可求得a的取值范围，可判断②；
③，依题意，知|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）|=32，可判断③；
④，f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，可判断④．

解答： 解：对于①，∵f（x）=x³-3x²-9x+a，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
当x≤-1或x≥3时，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上单调递增，故①错误；
对于②，由①知，当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=5+a，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=a-27，
若f（x）至少有两个零点，则

f(-1)≥0 f(3)≤0

，解得-5≤a≤27，故②正确；
对于③，∵f（x）在[-1，3]上单调递减，
∴对任意x₁，x₂∈[-1，3]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）|=32，故③正确；
对于④，∵f′（x）=3x²-6x-9，
∴f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，
∴曲线C的对称中心为（1，f（1）），即④正确；
故答案为：②③④．

点评：本题考查导数的综合应用，着重考查函数的单调性与极值、考查二阶导数的应用，属于难题．