Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，b₂=5，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，若c_n=a_nb_n，求C_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．即{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，问题得以解决．
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，把数列{a_n}和{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，然后直接利用错位相减法求数列{c_n}前n项和T_n，

解答： 解：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1．
（2）设{b_n}的公差为d，
由T₃=15得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10．
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0．
∴d=2，b₁=3
∴b_n=2n+1，
∴C_n=（2n+1）•3^n-1．
∴T_n=3×3⁰+5×3¹+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1   ①，
3T_n=3×3¹+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ ②，
①-②得：-2T_n=3+2×3¹+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ=3-（2n+1）×3ⁿ+2×

3(1-3n-1)

1-3

=3-（2n+1）×3ⁿ-3+3ⁿ=-2n×3ⁿ
∴T_n=n×3ⁿ

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．