Question

已知（

x

-

1

2 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）求展开式中的常数项；    
（2）求展开式中所有整式项．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）先求出二项式展开式的通项公式，再根据前三项系数的绝对值依次成等差数列，求出n的值．再令通项公式中x的幂指数为0，求得k的值，即可求得展开式中的常数项．
（2）要使T_k+1为整式项，需x的幂指数4-k为非负数，结合0≤k≤8，求得k的值，可得展开式中的整式项．

解答： 解：（1）由于二项式的展开式的通项公式为 T_r+1=C

r n

•（

x

）^n-r•（

1

2 x

）^r•（-1）^r，
∴前三项系数的绝对值分别为C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，
由题意知C

1 n

=C

0 n

+

1

4

C

2 n

，∴n=1+

1

8

n（n-1），n∈N^*，解得n=8或n=1（舍去），
∴T_k+1=C

k 8

•（

x

）^8-k•（-

1

2 x

）^k=C

k 8

•（-

1

2

）^k•x^4-k，0≤k≤8．
令4-k=0，求得k=4，∴展开式中的常数项为T₅=C

4 8

（-

1

2

）⁴=

35

8

．
（2）要使T_k+1为整式项，需4-k为非负数，且0≤k≤8，∴k=0，1，2，3，4．
∴展开式中的整式项为：x⁴，-4x³，7x²，-7x，

35

8

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．