Question

如图所示，△ABC和△BCE是边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD=2

3

．
（1）证明：DE⊥BC；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BC的中点为F，连接AF，EF，BD．由于△BCE正三角形，可得EF⊥BC．又平面ABC⊥平面BCE，可得EF⊥平面ABC．又AD⊥平面ABC，可得AD∥EF，D，A，F，E共面．又易知在正三角形ABC中，AF⊥BC，可得BC⊥平面DAFE，可得DE⊥BC．
（2）由（1）知EF∥AD，利用V_D-ABE=V_E-DAB=V_F-DAB=V_D-ABF．S_△ABF=

1

2

BF•AF．即可得出．

解答： （1）证明：取BC的中点为F，连接AF，EF，BD
∵△BCE正三角形，∴EF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCE，且交线为BC，
∴EF⊥平面ABC．
又AD⊥平面ABC∴AD∥EF，∴D，A，F，E共面，
又易知在正三角形ABC中，AF⊥BC，AF∩EF=F，
∴BC⊥平面DAFE，又DE?平面DAFE．
故DE⊥BC．
（2）由（1）知EF∥AD，
V_D-ABE=V_E-DAB=V_F-DAB=V_D-ABF．S_△ABF=

1

2

BF•AF=

3

2

．
∴VD-ABF=

1

3

S△ABF•AD=1．
即V_D-ABE．

点评：本题考查了正三角形的性质、线面垂直面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．