Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax²，直线l是曲线y=g（x）的一条切线．证明：曲线y=g（x）上的任意一点不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n都有

21

21+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求出函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），构造h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，求出h（x）在x=x₀处取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，从而得出结论；
（Ⅲ）先证明当x＞-1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，取对数，利用

2n+1

2n

=1+

1

2n

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=-

x

x+1

，
∴-1＜x＜0，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞0，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）-ax²-x，
设M（x₀，y₀）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），
即y=（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）
令h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，则
h′（x）=

1

x+1

-2ax-1-（

1

x0+1

-2ax₀-1），
∵h′（x₀）=0，
∴h′（x）在（-1，+∞）上是减函数，
∴h（x）在（-1，x₀）上是增函数，在（x₀，+∞）上是减函数，
∴h（x）在x=x₀处取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，
∴曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（-1，+∞）是恒成立，当且仅当x=0时，等号成立，
故当x＞-1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，
∵

2n+1

2n

=1+

1

2n

，
∴ln（

21+1

21

×

22+2

22

×…×

2n+2

2n

）=ln[（1+

1

21

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]
＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
∴

21+1

21

×

22+2

22

×…×

2n+2

2n

＜e．
∴

21

21+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度大．