Question

已知f(x)=(1+x)(x+

1

x3

)n（n∈N^*）．
（1）当n=8时，求f（x）展开式中的常数项；
（2）若f（x）展开式中没有常数项，且2＜n＜6，求n的值，并求此时f（x）展开式中含x²项的系数．

Answer 1

分析：（1）将n的值代入f（x），利用多项式的乘法展开，利用二项展开式的通项公式求出两部分的通项，令x的指数为0求出r的值，代入通项求出展开式的常数项．
（2）按多项式的乘法展开，利用二项展开式的通项公式求出两部分的通项，令x的指数不为0，在n的范围内求出n，将n的值代入通项，令x的指数为2，求出展开式中含x²项的系数．

解答：解：（1）当n=8时，f(x)=(x+

1

x3

)8+x(x+

1

x3

)8
(x+

1

x3

)8的通项为C₈^rx^8-4r，
当r=2时为常数项C₈²=28
x(x+

1

x3

)8的通项为C₈^kx^9-4k，无常数项
故f（x）展开式中常数项为28
（2）(1+x)(x+

1

x3

)n=(x+

1

x3

)n+x(x+

1

x3

)n
(x+

1

x3

)n的通项为C_n^rx^n-4r，无常数项，故n≠4
x(x+

1

x3

)n的通项为C_n^kx^n-4k+1，无常数项．故n≠4k-1
由于n∈N^*且2＜n＜6，
故n=5
当n=5时，x²项的系数求解如下：5-4r=2无解；
5-4k+1=2，故k=1，所以x²项的系数为C₅¹=5．

点评：解决二项展开式的特定项的问题，一般利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，再解决．