Question

17．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2ab-1．a＜b}\\{{b}^{2}-ab，a＞b}\end{array}\right.$，若f（x）=（2x-1）*（x-1），且函数y=f（x）-m有三个零点x₁，x₂，x₃，则x₁•x₂•x₃的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{4}$，0）
• B． （-$\frac{1}{8}$，0）
• C． （-$\frac{1}{16}$，0）
• D． （-$\frac{1}{32}$，0）

Answer 1

分析 由新定义求出函数的解析式，得到关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围及三个实根之间的关系，进而求出x₁•x₂•x₃的取值范围．

解答 解：由2x-1＜x-1，得x＜0，此时f（x）=（2x-1）*（x-1）=-（2x-1）²+2（2x-1）（x-1）-1=-2x，
由2x-1＞x-1，得x＞0，此时f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-（2x-1）（x-1）=-x²+x，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x＜0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，
作出函数的图象可得，
要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，不妨设x₁＜x₂＜x₃，
则0＜x₂＜$\frac{1}{2}$＜x₃＜1，且x₂和x₃关于x=$\frac{1}{2}$对称，
∴x₂+x₃=2×$\frac{1}{2}$=1．则x₂+x₃≥2$\sqrt{{x}_{2}{x}_{3}}$，0＜x₂x₃＜$\frac{1}{4}$，等号取不到．
当-2x=$\frac{1}{4}$时，解得x=-$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃≤$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{32}$＜x₁•x₂•x₃＜0，
即x₁•x₂•x₃的取值范围是（-$\frac{1}{32}$，0）．
故选：D．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式并作出函数图象是解答的关键，是中档题．