Question

6．已知关于x的方程mx²-nx+2=0的两根相等，方程x²-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍（m≠0）．求证：方程x²-（k+n）x+（k-m）=0一定有实数根．

Answer 1

分析 根据判别式的意义，由方程mx²-nx+2=0两根相等得到m≠0且n²-8m=0①，再设方程x²-4mx+3n=0的一个根是t，另一个根为3t，根据根与系数的关系得到t+3t=4m，t•3t=3n，消去t得m²=n②，解有①②组成的方程组得m=2，n=4，则方程x²-（k+n）x+（k-m）=0变形为x²-（k+4）x+（k-2）=0，然后计算该方程的判别式的值得到△=（k+2）²+20，则根据非负数的性质可得△＞0，于是根据判别式得意义可判断方程x²-（k+n）x+（k-m）=0一定有实数根．

解答 证明：∵关于x的方程mx²-nx+2=0两根相等，
∴m≠0且n²-8m=0①，
∵方程x²-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍，
设一个根为t，则另一个根为3t，
∴t+3t=4m，t•3t=3n，
∴m²=n②，
由①②得m=2，n=4，
∴方程x²-（k+n）x+（k-m）=0变形为x²-（k+4）x+（k-2）=0，
△=（k+4）²-4（k-2）
=（k+2）²+20，
∵（k+2）²≥0，
∴△＞0，
∴方程x²-（k+n）x+（k-m）=0一定有实数根．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．