Question

15．已知数列{a_n}满足a₃=3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，则数列{a_n}的前100项和S₁₀₀=5050．

Answer 1

分析 由已知条件推导出a₁=1，再由累乘法得到a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$1×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$=n，由此利用等差数列前n项和公式能求出{a_n}的前100项和．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₃=3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{1}$，
解得${a}_{2}=\frac{2{a}_{3}}{3}$=$\frac{2×3}{3}=2$，
${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{2}=1$，
a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$1×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$=n，
∴数列{a_n}的前100项和：
S₁₀₀=1+2+3+…+100=$\frac{100（1+100）}{2}$=5050．
故答案为：5050．

点评 本题考查数列的前100项物求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．