Question

3．环境保护越来越受各级政府部门所重视，某市有一景区由于游客的吃喝拉撒产生大量垃圾，严重影响环境卫生．该景区从2014年起每年投入到环境保护中的固定费用为10万元，每接侍一万人需另投入2.7万元．假设该景区每年接待游客x万人，每一万人的门票收人为R（x）万元．且R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10.8-\frac{1}{3000}{x}^{2}，0＜x≤100}\\{\frac{1074}{x}-\frac{98010}{3{x}^{2}}，x＞100}\end{array}\right.$年收益为y万元，其他费用忽略不计．
1）写出该景点年收益y（万元）关于年接待游客x（万人）的函数解析式；
2）年接待游客为多少万人时，该景区的年收益y最大．（注：年收益=门票收人-环保费用）

Answer 1

分析 （1）化简y=xR（x）-10-2.7x=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3000}{x}^{3}+8.1x-10，0＜x≤100}\\{1074-\frac{98010}{3x}-2.7x-10，x＞100}\end{array}\right.$；
（2）依分段函数讨论，分别求最值，从而确定最大值．

解答 解：（1）由题意得，
y=xR（x）-10-2.7x
=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3000}{x}^{3}+8.1x-10，0＜x≤100}\\{1074-\frac{98010}{3x}-2.7x-10，x＞100}\end{array}\right.$；
（2）当0＜x≤100时，
y=-$\frac{1}{3000}$x³+8.1x-10，
y′=-$\frac{{x}^{2}}{1000}$+8.1=-$\frac{1}{1000}$（x-90）（x+90）；
故当x=90时，y_max=-$\frac{1}{3000}$×90³+8.1×90-10=476；
当x＞100时，
y=1074-$\frac{98010}{3x}$-2.7x-10=1064-（$\frac{98010}{3x}$+2.7x），
∵$\frac{98010}{3x}$+2.7x≥2$\sqrt{\frac{98010}{3x}•2.7x}$=2×297=594，
则y_max=1064-594=470．
（当且仅当$\frac{98010}{3x}$=2.7x，即x=110时，等号成立）；
故年接待游客为90万人时，该景区的年收益y有最大值476．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数及基本不等式的应用，属于中档题．