Question

14．在区间[0，1]上任取三个实数x，y，z，事件A={（x，y，z）|x²+y²+z²＜1}
（1）构造出此随机事件A对应的几何图形；
（2）利用此图形求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）在区间[0，1]上随机取三个数x，y，z，x²+y²+z²＜1表示的是以原点（0，0，0）为球心，1为半径的球内的点．而事件A={（x，y，z）|x²+y²+z²＜1}中的点表示的是球在正方体内部的点，
（2）利用球的体积计算公式可得出A对应的几何图形的体积．再利用几何概型的计算公式即可得出．

解答 解：（1）在区间[0，1]上随机取三个数x，y，z，
x²+y²+z²＜1表示的是以原点（0，0，0）为球心，1为半径的球内的点．
而事件A={（x，y，z）|x²+y²+z²＜1}中的点表示的是球在正方体内部的点，
故随机事件A对应的几何图形是一个$\frac{1}{8}$球体，
（2）则点（x，y，z）在棱长为1的正方体内，其体积V=1³=1．
因此P（A）=$\frac{\frac{1}{8}×\frac{4}{3}π}{1}$=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了几何概型的概率计算公式，难度不大，是中档题目．