Question

13．二次函数f（x）满足f（x-1）+f（x）=2x²+4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对x∈[-1，1]，方程f（2x）=3f（x）+m有两解，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先设出函数的表达式，得到方程组，求出a，b，c的值；（2）问题转化为x²-x-（5+m）=0有2个解，由根的判别式求出即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c，
∴f（x-1）+f（x）=a（x²-2x+1）+b（x-1）+c+ax²+bx+c
=2ax²-（2a-2b）x+a-b+2c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{2a-2b=0}\\{a-2b+2c=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+x+$\frac{5}{2}$，
（2）由（1）得：f（2x）=4x²+2x+$\frac{5}{2}$，3f（x）=3x²+3x+$\frac{15}{2}$，
∴4x²+2x+$\frac{5}{2}$=3x²+3x+$\frac{15}{2}$+m，
∴x²-x-（5+m）=0，
∴△=1+4（5+m）=4m+21＞0，
∴m＞-$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．