Question

11．已知α，β是关于x的方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根
（1）求实数m的取值范围
（2）若α≥$\frac{1}{2}$，β≥$\frac{1}{2}$，求实数m的取值范围
（3）在（2）的条件下，求出α²+β²的最值以及此时m的值．

Answer 1

分析 （1）由判别式大于或等于零，求得实数m的取值范围．
（2）令f（x）=4x²-4mx+m+2，则有$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6m}^{2}-16（m+2）≥0}\\{\frac{m}{2}≥\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，由此求得实数m的取值范围．
（3）根据韦达定理可得α²+β² =（α+β）²-2αβ=m²-2•$\frac{m+2}{4}$=${（m-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{17}{16}$，再利用二次函数的性质求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）根据α，β是关于x的方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根，
可得△=16m²-4×4（m+2）≥0，即 （m-2）（m+1）≥0，
求得 m≤-1或 m≥2．
（2）若α≥$\frac{1}{2}$，β≥$\frac{1}{2}$，令f（x）=4x²-4mx+m+2，则有$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6m}^{2}-16（m+2）≥0}\\{\frac{m}{2}≥\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，
求得2≤m≤3．
（3）在（2）的条件下，α²+β² =（α+β）²-2αβ=m²-2•$\frac{m+2}{4}$=${（m-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{17}{16}$，
故当m=3 时，α²+β²的取得最大值为$\frac{\sqrt{26}}{2}$，当 m=1时，α²+β²的取得最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．